Base canónica

Cada vector a en tres dimensiones es una combinación lineal de los vectores que forman la base canónica i, j y k.

En álgebra lineal, la base canónica o base usual del espacio vectorial $\mathbb {K} ^{n}$ sobre un cuerpo $\mathbb {K}$ es el conjunto de los $n$ vectores cuya única coordenada distinta de cero vale 1. Es decir, consta en el siguiente orden de los vectores:

${\mathcal {B}}=\{(1,0,\dots ,0),(0,1,\dots ,0),\dots ,(0,0,\dots ,1)\}.$

Cuando el cuerpo base es $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$, se trata de una base ortonormal para el producto escalar usual.

Como ejemplo en $\mathbb {R} ^{3}$, la base canónica es ${\mathcal {B}}=\{{\textbf {i}},{\textbf {j}},{\textbf {k}}\}$, donde ${\textbf {i}}=(1,0,0)$, ${\textbf {j}}=(0,1,0)$ y ${\textbf {k}}=(0,0,1)$. Un vector cualquiera $\mathbf {v} =(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ se representa de forma única a través de una combinación lineal de los vectores básicos:

${\textbf {v}}=x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k}$

Por ejemplo:

$(-1,5,3)=-\mathbf {i} +5\mathbf {j} +3\mathbf {k}$

Plano y espacio euclídeos

El plano vectorial $\mathbb {R} ^{2}$ y el espacio $\mathbb {R} ^{3}$ se construyen ambos como el producto cartesiano de copias de la recta real:

$\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$.

$\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$.

Por lo tanto, los vectores del plano se representan mediante dos componentes: $\mathbf {v} =(a,b)$. Si se dibujan los ejes cartesianos, entonces $a$ indica el desplazamiento en el eje $X$ necesario para dibujar el vector $\mathbf {v}$, mientras que $b$ es el desplazamiento en el eje $Y$.

En otras palabras, si se ponen $a$ copias del vector $\mathbf {i} =(1,0)$ seguidas por $b$ copias del vector $\mathbf {j} =(0,1)$, colocadas de acuerdo con la regla geométrica de la suma de vectores, el vector suma obtenido es precisamente $\mathbf {v}$. Exactamente lo mismo ocurre en el espacio, donde $\mathbf {v} =(a,b,c)$ y la $c$ representa el desplazamiento en el eje $Z$, o el número de copias de $\mathbf {k} =(0,0,1)$ necesarias.

Las componentes $a$, $b$ y $c$ coinciden con las proyecciones ortogonales de $\mathbf {v}$ respecto de los ejes $X$, $Y$, $Z$, respectivamente.

La base canónica además de generar el espacio vectorial, le induce su producto escalar usual, y por ende su norma euclídea, que mide la distancia de un vector al cero en línea recta, considerando a los vectores de la base usual como ortogonales y unitarios. Como se toman de referencia en dichas definiciones, los vectores i , j y k forman una base ortonormal (son ortogonales y unitarios). Sin embargo, esta propiedad no caracteriza a la base canónica. Otra base ortonormal del espacio viene dada por:

$\{({\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}},0),(-{\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}},0),(0,0,1)\},$

que incluso tiene la misma orientación que la usual. No obstante, la base usual es la más sencilla posible con estas propiedades.

Esta misma construcción se generaliza a espacios de dimensión arbitraria.

Ejemplo

Cada vector a en tres dimensiones es una combinación lineal de los vectores que forman la base canónica i, j y k.

Observando la figura, el sistema de coordenadas está formado por las rectas: ${\color {BlueViolet}{\mbox{x (eje de abscisas)}}}$ , ${\color {Red}{\mbox{y (eje de ordenadas)}}}$ y ${\color {PineGreen}{\mbox{z (eje de cotas)}}}$.

Los vectores directores de cada una de las rectas de los ejes de coordenadas que conforman la base canónica son: ${\color {BlueViolet}{\mbox{i}}}$, ${\color {Red}{\mbox{j}}}$ y ${\color {PineGreen}{\mbox{k}}}$.

El vector $\mathbf {a} _{x}$ es generado por $\mathbf {\color {BlueViolet}{\mbox{i}}}$ de tal forma que es λ veces mayor que este.

El vector $\mathbf {a} _{y}$ es generado por $\mathbf {\color {Red}{\mbox{j}}}$ de tal forma que es μ veces mayor que este.

El vector $\mathbf {a} _{z}$ es generado por $\mathbf {\color {PineGreen}{\mbox{k}}}$ de tal forma que es ν veces mayor que este.

Por lo tanto, se verifican las siguientes igualdades:

$a_{x}=\lambda \,$

$a_{y}=\mu \,$

$a_{z}=\nu \,$

$\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})=\lambda \mathbf {i} +\mu \mathbf {j} +\nu \mathbf {k} =\lambda (1,0,0)+\mu (0,1,0)+\nu (0,0,1)=(\lambda ,0,0)+(0,\mu ,0)+(0,0,\nu )=(\lambda ,\mu ,\nu )$.

Generalización

Para cualquier anillo (unitario) $R$ y conjunto $I$, se define el módulo libre $R^{(I)}$ como el conjunto de todas las aplicaciones $f:I\to R$ de soporte finito. Si para cada $i\in I$ definimos el vector básico

$\mathbf {e} _{i}(j)=\delta _{ij}$,

donde $\delta$ representa a la delta de Kronecker, entonces la familia

$\{\mathbf {e} _{i}\ :\ i\in I\}$

forma una base del módulo $R^{(I)}$. Se recupera el concepto de base canónica cuando $R$ es un cuerpo e $I=\{1,\dots ,n\}.$

Véase también

• Cuadrante (geometría)
• Vector (física)
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Independencia lineal
• Base (álgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Producto escalar

Referencias

• J. J. Lozano Lucea, J. L. Vigatá Campo (1992). Cálculo con vectores. Alhambra Longman. ISBN 84-205-2122-1. 
• Seymour Lipschutz (1992). Algebra Lineal (2 edición). McGraw-Hill Interamericana. ISBN 8476157584. 

• Datos: Q2000912